Los números reales.

 1. Números Racionales y Irracionales

- Un numero racional, está definido por el conjunto de todas las fracciones que son equivalentes entre sí. El conjunto de los números racionales se representa por la letra Q

Ejemplo: 1/5, 1/10, 5/50...

- Un numero irracional es un número cuya expresión decimal tiene infinitas cifras decimales no periódicas. El conjunto de todos los números irracionales se representa con la letra I

Ejemplo: 1.25847..., 4545.25475475...

2. Números reales y Intervalos

- El conjunto de los números reales está formado por los números racionales y los números irracionales. Se representan con la letra R

A todo número real le corresponde un número único punto de la recta graduada, y viceversa: a todo punto de la recta le corresponde un único número real

Los intervalos están determinados por dos números que se llaman extremos. En un intervalo se encuentran todos los números comprendidos entre ambos y también pueden estar los extremos, los intervalos pueden ser:

• ABIERTOS: de extremos a y b (a,b), es el conjunto de números reales, x, que son mayores que a y menores que b.

                                          (a, b) = {x E R / a < x < b}

• CERRADOS: de extremos a y b, [a, b], es el conjunto de números reales, x, que son mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

                                   [a, b] = {x E R / a ≤ x ≤ b}

• SEMIABIERTO/SEMICERRADOS: cuando uno de los extremos pertenece al intervalo y el otro no.

                                   (a, b] = {x E R / a < x ≤ b}

                          [a, b) = {x E R/ a ≤ x < b}

                                    

• Para representar el conjunto de números reales menores que a , se utiliza (-∞, a), y los mayores que a (a, +∞)

                                    (-∞, a) = {x E R / x < a}

                          (a,∞) = {x E R / x > a}

¿Qué son las matemáticas?

Las matemáticas son una ciencia formal que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones entre entes abstractos (números,figuras geométricas, símbolos). Las matemáticas se emplean para estudiar relaciones cuantitativas, estructuras, relaciones geométricas y los mangitudes variables. Los matemáticos buscan patrones, formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemáticamediante rigurosas deducciones. Éstas les permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiados para dicho fin. Algunas definiciones clásicas restringen las matemáticas al razonamiento sobre cantidades, aunque sólo una parte de las matemáticas actuales usan números, predominando el análisis lógicos de construcciones abstractas no cuantitativas.

Existe cierto debate acerca de si los objetos matemáticos, como los números y puntos, realmente existen o si provienen de la imaginación humana. El matemático Benjamin Pierce definió las matemáticas como "la ciencia que señala las conclusiones necesarias". Por otro lado, Albert Einstein declaró que "cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no se refieren a la realidad".

Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las matemáticas han evolucionado basándose en las cuentas, el cálculo y las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y el movimiento de los objetos físicos. Las matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin práctico .

Las explicaciones que se apoyaban en la lógica aparecieron por primera vez con la matemática helénica, especialmente con los Elementos de Euclides. Las matemáticas siguieron desarrollándose, con continuas interrupciones, hasta que en el Renacimiento las innovaciones matemáticas interactuaron con los nuevos descubrimientos científicos. Como consecuencia, hubo una aceleración en la investigación que continúa hasta la actualidad.

Hoy en día, las matemáticas se usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran lasciencias naturales, la ingeniería, la medicina y las ciencias sociales, e incluso disciplinas que, aparentemente, no están vinculadas con ella, como la música (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armónica). Las matemáticas aplicadas, rama de las matemáticas destinada a la aplicación de los conocimientos matemáticos a otros ámbitos, inspiran y hacen uso de los nuevos descubrimientos matemáticos y, en ocasiones, conducen al desarrollo de nuevas disciplinas. Los matemáticos también participan en las matemáticas puras, sin tener en cuenta la aplicación de esta ciencia, aunque las aplicaciones prácticas de las matemáticas puras suelen ser descubiertas con el paso del tiempo.